Álgebra Exemplos

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ e cuja soma é $b = 4$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 (x) - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $4$ como $- 1$ mais $5$

$\frac{5 x^{2} + (- 1 + 5) x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 1 x + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(5 x^{2} - 1 x) + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (5 x - 1) + 1 (5 x - 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x - 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 3

Fatore $2$ de $2 x + 6$ .

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Etapa 3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x) + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 2 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 3.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x + 1$ de $(5 x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x - 1}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x + 3$ de $2 (x + 3)$ .

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Etapa 6.2.2

Fatore $x + 3$ de $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x - 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{5 x - 1}{2}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x - 1}{2}$