Álgebra Exemplos

$\frac{7}{x + 5} \leq \frac{8}{x + 6}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{8}{x + 6}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para escrever $\frac{7}{x + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{8}{x + 6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 5) (x + 6)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{7}{x + 5}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{8}{x + 6}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 6) (x + 5)} \leq 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x + 6) (x + 5)$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 (x + 6) - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 6 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $7$ por $6$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 8 \cdot 5}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.5.5

Subtraia $8 x$ de $7 x$ .

$\frac{- x + 42 - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.5.6

Subtraia $40$ de $42$ .

$\frac{- x + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.7

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 6

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 6$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 2, - 5, - 6$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 5) (x + 6) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 9.2.2

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 9.2.3

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 9.2.3.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, - 6$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{7}{(- 8) + 5} \leq \frac{8}{(- 8) + 6}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 2.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $- 4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5.5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 5.5$ na desigualdade original.

$\frac{7}{(- 5.5) + 5} \leq \frac{8}{(- 5.5) + 6}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 14$ é menor do que o lado direito $16$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{7}{(0) + 5} \leq \frac{8}{(0) + 6}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $1.4$ é maior do que o lado direito $1.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{7}{(4) + 5} \leq \frac{8}{(4) + 6}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{7}$ é menor do que o lado direito $0.8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 6 < x < - 5$ ou $x \geq 2$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 6 < x < - 5 or x \geq 2$

Notação de intervalo:

$(- 6, - 5) \cup [2, \infty)$

Etapa 14