Álgebra Exemplos

$\log_{5} (3 x + 2) < \log_{5} (2 x + 5)$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{5} (3 x + 2) = \log_{5} (2 x + 5)$

Etapa 2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$3 x + 2 = 2 x + 5$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$3 x + 2 - 2 x = 5$

Etapa 2.2.1.2

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$x + 2 = 5$

Etapa 2.2.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = 5 - 2$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$x = 3$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 3.2.3

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 3.2.5

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.7

Consolide as soluções.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.8

Encontre o domínio de $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Defina o denominador em $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 5 = 0$

Etapa 3.2.8.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 3.2.8.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.2.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.2.8.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.2.8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Etapa 3.2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 3.2.10.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{3 (- 5) + 2}{2 (- 5) + 5} > 0$

Etapa 3.2.10.1.3

O lado esquerdo $2.6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 3.2.10.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{3 (- 2) + 2}{2 (- 2) + 5} > 0$

Etapa 3.2.10.2.3

O lado esquerdo $- 4$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.2.10.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.2.10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{3 (0) + 2}{2 (0) + 5} > 0$

Etapa 3.2.10.3.3

O lado esquerdo $0.4$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$x > - \frac{2}{3}$ Verdadeiro

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$x > - \frac{2}{3}$ Verdadeiro

Etapa 3.2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{5}{2}$ ou $x > - \frac{2}{3}$

Etapa 3.3

Defina o denominador em $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 5 = 0$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 3$

$x > 3$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\log_{5} (3 (- 5) + 2) < \log_{5} (2 (- 5) + 5)$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log_{5} (3 (- 2) + 2) < \log_{5} (2 (- 2) + 5)$

Etapa 5.2.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.2.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{2}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{2}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log_{5} (3 (0) + 2) < \log_{5} (2 (0) + 5)$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $0.43067655$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\log_{5} (3 (6) + 2) < \log_{5} (2 (6) + 5)$

Etapa 5.4.3

O lado esquerdo $1.86135311$ não é menor do que o lado direito $1.76037442$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Notação de intervalo:

$(- \frac{2}{3}, 3)$

Etapa 8