Álgebra Exemplos

$\frac{x^{4} + 0 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} + 0 - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Etapa 1.2

Some $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Etapa 1.3

Fatore $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 1.3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 1.3.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{4} - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$81 - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.3.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$81 - 10 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $- 10$ por $9$ .

$81 - 90 - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.3.3.5

Subtraia $90$ de $81$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Etapa 1.3.3.7

Some $- 9$ e $6$ .

$- 3 + 3$

Etapa 1.3.3.8

Some $- 3$ e $3$ .

$0$

Etapa 1.3.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Etapa 1.3.5

Divida $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ por $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 1.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 1.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 1.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 1.3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Etapa 1.3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Etapa 1.3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Etapa 1.3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Etapa 1.3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

Etapa 1.3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Etapa 1.3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - 3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Etapa 1.3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

Etapa 1.3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Etapa 1.3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Etapa 1.3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Etapa 1.3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 3$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Etapa 1.3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

$0$

Etapa 1.3.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$

Etapa 1.3.6

Escreva $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ como um conjunto de fatores.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Etapa 2.2

Divida $x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$