Álgebra Exemplos

$x^{4} + x^{2} - 90 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + x^{2} - 90 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} + u - 90 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} + u - 90$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 90$ e cuja soma é $1$ .

$- 9, 10$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 9) (u + 10) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 10) = 0$

Etapa 1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 10) = 0$

Etapa 1.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 10 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5

Defina $x^{2} + 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x^{2} + 10$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 10 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} + 10 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 10$

Etapa 5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 10}$

Etapa 5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 10}$ .

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (10)}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (10)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{10}$

Etapa 5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{10}$

Etapa 5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{10}$

Etapa 5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$