Álgebra Exemplos

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} = 3$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2^{x} + 2^{- x} = 3 \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$2^{x} + 2^{- x} = 6$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $2^{- x}$ como exponenciação.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = 6$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 6$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6$

Etapa 3.4

Resolva $u$ .

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Etapa 3.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 3.4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 3.4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = 6$ por $u$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = 6$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 1 = 6 u$

Etapa 3.4.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Subtraia $6 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 1 - 6 u = 0$

Etapa 3.4.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4.3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.4.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.3

Subtraia $4$ de $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.4.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.4.3.4.3

Simplifique $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.4.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.5

Substitua $3 + 2 \sqrt{2}$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$3 + 2 \sqrt{2} = 2^{x}$

Etapa 3.6

Resolva $3 + 2 \sqrt{2} = 2^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 3 + 2 \sqrt{2}$ .

$2^{x} = 3 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Etapa 3.6.3

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Etapa 3.6.4

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 3.6.4.1

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 3.6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 3.6.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 3.7

Substitua $3 - 2 \sqrt{2}$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$3 - 2 \sqrt{2} = 2^{x}$

Etapa 3.8

Resolva $3 - 2 \sqrt{2} = 2^{x}$ .

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Etapa 3.8.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 3 - 2 \sqrt{2}$ .

$2^{x} = 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$

Etapa 3.8.3

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$

Etapa 3.8.4

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 3.8.4.1

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 3.8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 3.8.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 3.9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}, \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}, \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 2.54310660 \dots, - 2.54310660 \dots$