Álgebra Exemplos

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $9^{x + \frac{1}{2}}$ como $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ .

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $9^{x}$ como ${(3^{2})}^{x}$ .

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva ${(3^{2})}^{x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Etapa 1.4

Deixe $u = 3^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $3^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Etapa 1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Etapa 1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Etapa 1.4.4

Avalie o expoente.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Etapa 1.4.5

Mova $3$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 1.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 1.5.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 1$ mais $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Etapa 1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Etapa 1.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Etapa 1.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Etapa 1.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3^{x}$ .

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $3 \cdot 3^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $3 \cdot 3^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $3$ por $3^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{1 + x} - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3^{1 + x} = 1$

Etapa 3.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

Etapa 3.2.4

Expanda $\ln (3^{1 + x})$ movendo $1 + x$ para fora do logaritmo.

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 3.2.5

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Simplifique $(1 + x) \ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 3.2.5.1.2

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 3.2.6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

Etapa 3.2.7

Reordene $\ln (3)$ e $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

Etapa 3.2.8

Subtraia $\ln (3)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (3) = - \ln (3)$

Etapa 3.2.9

Divida cada termo em $x \ln (3) = - \ln (3)$ por $\ln (3)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = - \ln (3)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.3.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$x = - 1$

Etapa 4

Defina $3^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $3^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3^{x} = 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Etapa 4.2.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Etapa 4.2.5

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.3.1

Divida $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 0$