Álgebra Exemplos

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ .

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ como ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

Etapa 3.3.1.3

Some $25$ e $144$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

Etapa 3.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$64 a^{3} = 13^{3}$

Etapa 3.3.1.6

Eleve $13$ à potência de $3$ .

$64 a^{3} = 2197$

Etapa 4

Resolva $a$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $2197$ dos dois lados da equação.

$64 a^{3} - 2197 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Reescreva $64 a^{3}$ como ${(4 a)}^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

Etapa 4.2.2

Reescreva $2197$ como $13^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

Etapa 4.2.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 4 a$ e $b = 13$ .

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Aplique a regra do produto a $4 a$ .

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Etapa 4.2.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Etapa 4.2.4.3

Multiplique $13$ por $4$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

Etapa 4.2.4.4

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Etapa 4.4

Defina $4 a - 13$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $4 a - 13$ como igual a $0$ .

$4 a - 13 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $4 a - 13 = 0$ para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Some $13$ aos dois lados da equação.

$4 a = 13$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $4 a = 13$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $4 a = 13$ por $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Etapa 4.4.2.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{13}{4}$

Etapa 4.5

Defina $16 a^{2} + 52 a + 169$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Defina $16 a^{2} + 52 a + 169$ como igual a $0$ .

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Etapa 4.5.2

Resolva $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ para $a$ .

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Etapa 4.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5.2.2

Substitua os valores $a = 16$ , $b = 52$ e $c = 169$ na fórmula quadrática e resolva $a$ .

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1.1

Eleve $52$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $169$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.3

Subtraia $10816$ de $2704$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.4

Reescreva $- 8112$ como $- 1 (8112)$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (8112)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.7

Reescreva $8112$ como $52^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.5.2.3.1.7.1

Fatore $2704$ de $8112$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.7.2

Reescreva $2704$ como $52^{2}$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.1.9

Mova $52$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 4.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 4.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ verdadeiro.

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$