Álgebra Exemplos

$f (x) = e^{x} - 3$

Etapa 1

Escreva $f (x) = e^{x} - 3$ como uma equação.

$y = e^{x} - 3$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = e^{y} - 3$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $e^{y} - 3 = x$ .

$e^{y} - 3 = x$

Etapa 3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$e^{y} = x + 3$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (x + 3)$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ é o inverso de $f (x) = e^{x} - 3$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $(e^{x} - 3) + 3$ .

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Etapa 5.2.3.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

Etapa 5.2.3.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (x + 3))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

Etapa 5.3.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x + 3 - 3$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\ln (x + 3)) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ é o inverso de $f (x) = e^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$