Álgebra Exemplos

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) (x - 1) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x - 2) (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x - 2) - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 1 \cdot 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.6

Expanda $(- x - 3) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x - x (x - 1) - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

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Etapa 6.7.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + 1 x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.7.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.7.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.7.2

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.8

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 0 - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.9

Some $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.10

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 7.2

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.4.1

Reescreva $- (4 x - 3)$ como $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 7.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x - 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$