Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$ como uma equação.

$y = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3 = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} = x - 3$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{5}$ e ${(y - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = x - 3$

Etapa 3.4

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 5 (x - 3)$

Etapa 3.5

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 5 (x - 3)$

Etapa 3.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

${(y - 2)}^{2} = 5 (x - 3)$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique $5 (x - 3)$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(y - 2)}^{2} = 5 x + 5 \cdot - 3$

Etapa 3.5.2.1.2

Multiplique $5$ por $- 3$ .

${(y - 2)}^{2} = 5 x - 15$

Etapa 3.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y - 2 = \pm \sqrt{5 x - 15}$

Etapa 3.7

Fatore $5$ de $5 x - 15$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 (x) - 15}$

Etapa 3.7.2

Fatore $5$ de $- 15$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 x + 5 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.3

Fatore $5$ de $5 x + 5 \cdot - 3$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 (x - 3)}$

Etapa 3.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - 2 = \sqrt{5 (x - 3)}$

Etapa 3.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Etapa 3.8.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - 2 = - \sqrt{5 (x - 3)}$

Etapa 3.8.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Etapa 3.8.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[3, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{5 (x - 3)} + 2$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{5 (x - 3)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5 (x - 3) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $5 (x - 3) \geq 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $5 (x - 3) \geq 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x - 3)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $x - 3$ por $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x - 3 \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 3$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[3, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ é o intervalo de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ é o domínio de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Etapa 6