Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 5^{2}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 5, 5 - x, (x + 5) (x - 5)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $x + 5$ é o próprio $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $5 - x$ é o próprio $5 - x$ .

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $x + 5$ é o próprio $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $x - 5$ é o próprio $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $x + 5, 5 - x, x + 5, x - 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 5) (5 - x) (x - 5)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ por $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ por $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Fatore $x + 5$ de $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$(5 - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$(- 1 (- 5) - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$(- 1 (- 5) - (x)) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$- 1 (- 5 + x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.5

Reordene os termos.

$- 1 (x - 5) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.6

Eleve $x - 5$ à potência de $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.7

Eleve $x - 5$ à potência de $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 1} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.9

Some $1$ e $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.10

Reescreva $- 1 {(x - 5)}^{2}$ como $- {(x - 5)}^{2}$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.11

Cancele o fator comum de $5 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.11.1

Fatore $5 - x$ de $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.11.2

Cancele o fator comum.

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.11.3

Reescreva a expressão.

$- {(x - 5)}^{2} + x ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.12

Expanda $(x + 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x (x - 5) + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.13

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.13.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 5$ e $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.13.2

Some $- 5 x$ e $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.13.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.14

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.14.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.14.2

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} - 25) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.15

Aplique a propriedade distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.16

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.16.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.16.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1} x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.16.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1 + 2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.16.2

Some $1$ e $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.2.1.17

Mova $- 25$ para a esquerda de $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $(x + 5) (x - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Fatore $(x + 5) (x - 5)$ de $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Etapa 3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x (5 - x)$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x \cdot 5 + 2 x (- x)$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 x (- x)$

Etapa 3.3.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Mova $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x - 2 x^{2}$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Subtraia $10 x$ dos dois lados da equação.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x = - 2 x^{2}$

Etapa 4.1.2

Some $2 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Reescreva ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$- ((x - 5) (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.2

Expanda $(x - 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$- (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$- (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.3.2

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.4

Combine os termos opostos em $- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Subtraia $10 x$ de $10 x$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 0 + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x$ e $0$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.1.5

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x = 0$

Etapa 4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Reordene os termos.

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + x^{2}) - 25 x - 25 = 0$

Etapa 4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 1) - 25 (x + 1) = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - 25) = 0$

Etapa 4.2.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 4.2.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x + 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 4.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 4.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 5, 5$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$ verdadeira.

$x = - 1$