Álgebra Exemplos

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (a)$ e $b = \sin (a)$ .

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\tan (a)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.2

Fatore $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $\sin (a)$ de $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.3

Reescreva $\tan (a)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.4

Fatore $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ .

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $\sin (a)$ de $- \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.4.3

Fatore $\sin (a)$ de $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.5

Combine expoentes.

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Etapa 1.2.5.1

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.5.2

Eleve $\sin (a)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 1.2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $\tan (a)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

Etapa 2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (a)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $\sin^{2} (a)$ de $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ .

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 5

Expanda $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (a)}$ por $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.1.2

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.1.3

Eleve $\cos (a)$ à potência de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.2

Combine $\frac{1}{\cos (a)}$ e $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.4

Multiplique $\frac{1}{\cos (a)}$ por $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.2

Some $- \frac{1}{\cos (a)}$ e $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 6.3

Some $\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ e $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (a)$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

Etapa 7.3

Reescreva $- 1 \cos^{2} (a)$ como $- \cos^{2} (a)$ .

$1 - \cos^{2} (a)$

Etapa 8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sin^{2} (a)$