Álgebra Exemplos

$2 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$2 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.1.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$(1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$(1 - i \sqrt{3}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$(4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})$

Etapa 1.3.3

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 2

Expanda $(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}) - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (2) \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \sqrt{3} \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.5

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.7

Some $1$ e $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.8

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.8.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.8.5

Avalie o expoente.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3 - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.9

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1

Fatore $2$ de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.10.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

Etapa 3.1.10.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i \sqrt{3} i$

Etapa 3.1.11

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i) \sqrt{3}$

Etapa 3.1.12

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3}$

Etapa 3.1.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{1 + 1} \sqrt{3}$

Etapa 3.1.14

Some $1$ e $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{2} \sqrt{3}$

Etapa 3.1.15

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 \cdot - 1 \sqrt{3}$

Etapa 3.1.16

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 \sqrt{3}$

Etapa 3.2

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$2 i - 6 i + 4 \sqrt{3}$

Etapa 3.3

Subtraia $6 i$ de $2 i$ .

$- 4 i + 4 \sqrt{3}$

Etapa 4

Reordene $- 4 i$ e $4 \sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3} - 4 i$