Álgebra Exemplos

$\frac{r}{r^{2} - 4} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{r}{r^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = r$ e $b = 2$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Etapa 1.2

Fatore $r^{2} - 6 r + 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(r + 2) (r - 2) (r - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ por $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ por $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r - 4) (r - 2) (r + 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(r - 4) (r - 2) (r + 2)$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{r (r - 4) + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{r \cdot r + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 6.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{r^{2} + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 6.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $r$ .

$\frac{r^{2} - 4 \cdot r + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 6.4

Some $- 4 r$ e $r$ .

$\frac{r^{2} - 3 r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 6.5

Fatore $r^{2} - 3 r + 2$ usando o método AC.

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Etapa 6.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 6.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $r - 2$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{r - 1}{(r + 2) (r - 4)}$