Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ como uma equação.

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados por $1 + e^{- y}$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $1 + e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique $x (1 + e^{- y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $x e^{- y}$ dos dois lados da equação.

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

Etapa 3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

Etapa 3.4.3

Fatore $e^{- y}$ de $- e^{- y} - x e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $e^{- y}$ de $- e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $e^{- y}$ de $- x e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $e^{- y}$ de $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ .

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ por $- 1 - x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ por $- 1 - x$ .

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Etapa 3.4.4.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Etapa 3.4.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Etapa 3.4.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (x)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Etapa 3.4.4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Etapa 3.4.5

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 3.4.6

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Expanda $\ln (e^{- y})$ movendo $- y$ para fora do logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 3.4.6.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 3.4.6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 3.4.7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1

Simplifique $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1.1

Divida a fração $\frac{x - 1}{1 + x}$ em duas frações.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

Etapa 3.4.7.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

Etapa 3.4.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

Etapa 3.4.7.1.4

Multiplique $- - \frac{1}{1 + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

Etapa 3.4.7.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Etapa 3.4.8

Divida cada termo em $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1

Divida cada termo em $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Etapa 3.4.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Etapa 3.4.8.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Etapa 3.4.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Etapa 3.4.8.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ como $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ .

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $- - e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.4.3.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.4.4

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.4.5

Some $0$ e $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.4.6

Some $e^{- x}$ e $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.6.3

Reescreva $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.3.1

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.6.3.2

Subtraia $e^{- x}$ de $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.6.3.3

Some $2$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

Etapa 5.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

Etapa 5.2.8

Multiplique $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Fatore $2$ de $2 e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Etapa 5.2.9.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Etapa 5.2.9.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Etapa 5.2.10

Cancele o fator comum de $1 + e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Etapa 5.2.10.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

Etapa 5.2.11

Use as regras logarítmicas para mover $- x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

Etapa 5.2.12

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

Etapa 5.2.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Multiplique $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.6

Reordene os termos.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.7

Reescreva $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.7.2

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.7.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.7.4

Some $x$ e $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.7.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.7.6

Some $2 x$ e $0$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.4.2

Multiplique $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.4.2.2

Multiplique $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Etapa 5.3.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Etapa 5.3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

Etapa 5.3.4.6

Reordene os termos.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.7

Reescreva $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.7.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.7.2

Some $0$ e $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.7.3

Some $1$ e $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$