Álgebra Exemplos

$\frac{8 x}{x^{2} - 49} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{8 x}{x^{2} - 7^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 7$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} - 4 x - 21$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 21$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 7, 3$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x - 7) (x + 3) (x + 7)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 x (x + 3) + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 5 \cdot 7}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 6.5

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Etapa 6.6

Some $24 x$ e $5 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 29 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$