Álgebra Exemplos

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 1) (x + 2) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x}{x - 1}$ por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x + 2) (x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 6.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x (x^{2} - 4) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.5.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 \cdot x + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 6.7

Some $- 4 x$ e $x$ .

$\frac{x^{3} - 3 x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$