Álgebra Exemplos

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{4} (x^{2} - x) - \log_{4} (5) = 1$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1$

Etapa 3

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

Etapa 4

Reescreva $\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Etapa 5.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Simplifique $5 \frac{x (x - 1)}{5}$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.1.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Etapa 5.3.1.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x (x - 1) = 5 \cdot 4^{1}$

Etapa 5.3.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Etapa 5.3.1.1.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Etapa 5.3.1.1.1.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 5 \cdot 4^{1}$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x = 5 \cdot 4^{1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $5 \cdot 4^{1}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Avalie o expoente.

$x^{2} - x = 5 \cdot 4$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$x^{2} - x = 20$

Etapa 5.4

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Etapa 5.5

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 5.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 5.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 5.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 5.7

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.7.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 5.7.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 5.8

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.8.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.8.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 4$