Álgebra Exemplos

$\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1} = y^{2} + 1$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}}^{2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}$ como ${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{1} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique ${(y^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(y^{2} + 1)}^{2}$ como $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = (y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{2} + 1)$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1$

Etapa 2.3.1.3.2

Some $y^{2}$ e $y^{2}$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + 2 y^{2} + 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $y^{4}$ dos dois lados da equação.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} = 2 y^{2} + 1$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} - 2 y^{2} = 1$

Etapa 3.1.3

Combine os termos opostos em $y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} - 2 y^{2}$ .

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Etapa 3.1.3.1

Subtraia $y^{4}$ de $y^{4}$ .

$2 y^{2} + 1 + 0 - 2 y^{2} = 1$

Etapa 3.1.3.2

Some $2 y^{2} + 1$ e $0$ .

$2 y^{2} + 1 - 2 y^{2} = 1$

Etapa 3.1.3.3

Subtraia $2 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$0 + 1 = 1$

Etapa 3.1.3.4

Some $0$ e $1$ .

$1 = 1$

Etapa 3.2

Como $1 = 1$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $y$ .

Todos os números reais

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$