Álgebra Exemplos

$f (x) = 64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ ?

Etapa 1

Fatore $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 125, \pm 1.953125, \pm 62.5, \pm 3.90625, \pm 31.25, \pm 7.8125, \pm 15.625, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625, \pm 25, \pm 0.390625, \pm 12.5, \pm 0.78125, \pm 6.25, \pm 1.5625, \pm 3.125$

Etapa 1.3

Substitua $1.25$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1.25$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $1.25$ no polinômio.

$64 \cdot {1.25}^{3} - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Etapa 1.3.2

Eleve $1.25$ à potência de $3$ .

$64 \cdot 1.953125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Etapa 1.3.3

Multiplique $64$ por $1.953125$ .

$125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Etapa 1.3.4

Eleve $1.25$ à potência de $2$ .

$125 - 240 \cdot 1.5625 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 240$ por $1.5625$ .

$125 - 375 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Etapa 1.3.6

Subtraia $375$ de $125$ .

$- 250 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Etapa 1.3.7

Multiplique $300$ por $1.25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Etapa 1.3.8

Some $- 250$ e $375$ .

$125 - 125$

Etapa 1.3.9

Subtraia $125$ de $125$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $1.25$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $4 x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125}{4 x - 5}$

Etapa 1.5

Divida $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ por $4 x - 5$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x$

$5$

$64 x^{3}$

$240 x^{2}$

$300 x$

$125$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $64 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

					$16 x^{2}$
	$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			+	$64 x^{3}$	-	$80 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $64 x^{3} - 80 x^{2}$ .

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 160 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					-	$160 x^{2}$	+	$200 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 160 x^{2} + 200 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $100 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							+	$100 x$	-	$125$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $100 x - 125$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$16 x^{2} - 40 x + 25$

Etapa 1.6

Escreva $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (4 x - 5) (16 x^{2} - 40 x + 25)$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 25)$

Etapa 2.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 5^{2})$

Etapa 2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$40 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 5$

Etapa 2.4

Reescreva o polinômio.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 5 + 5^{2})$

Etapa 2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 4 x$ e $b = 5$ .

$f (x) = (4 x - 5) {(4 x - 5)}^{2}$

Etapa 3

Combine como fatores.

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Etapa 3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{1 + 2}$

Etapa 3.2

Some $1$ e $2$ .

$f (x) = {(4 x - 5)}^{3}$