Álgebra Exemplos

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$

Etapa 1

A função principal é a forma mais simples do tipo de função em questão.

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Etapa 2

A transformação da primeira equação para a segunda pode ser encontrada ao determinar $a$ , $h$ e $k$ para cada equação.

$y = a b^{x - h} + k$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

Etapa 3.1.2

Combine em uma fração.

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Etapa 3.1.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Etapa 3.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $3^{2 x - 6}$ como ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva $4^{2 x - 6}$ como ${(4^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Etapa 3.2.3

Reordene $- {(4^{x - 3})}^{2}$ e ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Etapa 3.2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3^{x - 3}$ e $b = 4^{x - 3}$ .

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

Etapa 4

Encontre $a$ , $h$ e $k$ para $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Etapa 5

Encontre $a$ , $h$ e $k$ para $f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Etapa 6

O deslocamento horizontal depende do valor de $h$ . Ele é descrito como:

$f (x) = f (x + h)$ - O gráfico está deslocado $h$ unidades para a esquerda.

$f (x) = f (x - h)$ - O gráfico está deslocado $h$ unidades para a direita.

Deslocamento horizontal: $3$ unidades à direita

Etapa 7

O deslocamento vertical depende do valor de $k$ . Ele é descrito como:

$f (x) = f (x) + k$ - O gráfico está deslocado $k$ unidades para cima.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Deslocamento vertical: $1$ unidades para cima

Etapa 8

O sinal de $a$ descreve a reflexão no eixo x. $- a$ significa que o gráfico é refletido no eixo x.

Reflexão sobre o eixo x: refletida

Etapa 9

O valor de $a$ descreve o alongamento vertical ou a compressão do gráfico.

$a > 1$ é um alongamento vertical (que estreita)

$0 < a < 1$ é uma compressão vertical (que amplia)

Compressão ou alongamento vertical: nenhum

Etapa 10

Para encontrar a transformação, compare as duas funções e veja se há um deslocamento horizontal ou vertical, um reflexo sobre o eixo x e se há um alongamento vertical.

Função principal: $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Deslocamento horizontal: $3$ unidades à direita

Deslocamento vertical: $1$ unidades para cima

Reflexão sobre o eixo x: refletida

Compressão ou alongamento vertical: nenhum

Etapa 11