Álgebra Exemplos

$\log_{9} (4 x - 5) < \log_{9} (- 2 x + 1)$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{9} (4 x - 5) = \log_{9} (- 2 x + 1)$

Etapa 2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$4 x - 5 = - 2 x + 1$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$4 x - 5 + 2 x = 1$

Etapa 2.2.1.2

Some $4 x$ e $2 x$ .

$6 x - 5 = 1$

Etapa 2.2.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$6 x = 1 + 5$

Etapa 2.2.2.2

Some $1$ e $5$ .

$6 x = 6$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Divida $6$ por $6$ .

$x = 1$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$4 x - 5 = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$4 x = 5$

Etapa 3.2.3

Divida cada termo em $4 x = 5$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Divida cada termo em $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Etapa 3.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 3.2.5

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{5}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.7

Consolide as soluções.

$x = \frac{5}{4}, \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.8

Encontre o domínio de $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Defina o denominador em $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 3.2.8.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 3.2.8.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.2.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.2.8.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.2.8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 3.2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Etapa 3.2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.2.10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{4 (0) - 5}{- 2 \cdot 0 + 1} > 0$

Etapa 3.2.10.1.3

O lado esquerdo $- 5$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.2.10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 3.2.10.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{4 (1) - 5}{- 2 \cdot 1 + 1} > 0$

Etapa 3.2.10.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.10.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 3.2.10.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{4 (4) - 5}{- 2 \cdot 4 + 1} > 0$

Etapa 3.2.10.3.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{571428}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.2.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Verdadeiro

$x > \frac{5}{4}$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Verdadeiro

$x > \frac{5}{4}$ Falso

Etapa 3.2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

Etapa 3.3

Defina o denominador em $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log_{9} (4 (0) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0 + 1)$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.75$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $0.75$ na desigualdade original.

$\log_{9} (4 (0.75) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0.75 + 1)$

Etapa 5.2.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.2.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.12$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $1.12$ na desigualdade original.

$\log_{9} (4 (1.12) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 1.12 + 1)$

Etapa 5.3.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.3.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{5}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\log_{9} (4 (4) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 4 + 1)$

Etapa 5.4.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.4.3.2

O lado direito não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{4}$ Falso

$x > \frac{5}{4}$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{4}$ Falso

$x > \frac{5}{4}$ Falso

Etapa 6

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução