Álgebra Exemplos

$\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\log (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.3.1.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 1 - \log (2)$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log (x^{2} - 4) + \log (2) = 1$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x^{2} - 4) \cdot 2) = 1$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2) = 1$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\log (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2) = 1$

Etapa 5.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\log (2 x^{2} - 8) = 1$

Etapa 6

Reescreva $\log (2 x^{2} - 8) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} - 8$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} - 8 = 10^{1}$ .

$2 x^{2} - 8 = 10$

Etapa 7.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 10 + 8$

Etapa 7.2.2

Some $10$ e $8$ .

$2 x^{2} = 18$

Etapa 7.3

Divida cada termo em $2 x^{2} = 18$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.3.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 18$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Etapa 7.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.3.1

Divida $18$ por $2$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 7.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 7.5

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 7.5.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 7.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 7.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 7.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 7.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$ verdadeira.

$x = 3$