Álgebra Exemplos

$x^{2} + (y - {(\frac{4}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 y - \frac{32}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Some $\frac{32}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Combine.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $32$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.4.1

Fatore $2$ de $32 \cdot 1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3.1.5

Multiplique $16$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre onde a expressão $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Etapa 6.1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Etapa 6.1.3

Para escrever $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}}$

Etapa 6.1.4

Para escrever $\frac{16}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Multiplique $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.1.5.2

Multiplique $\frac{16}{x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.1.5.3

Reordene os fatores de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.1

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.2.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.2.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.5.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.5.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.6

Multiplique $16$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.7.7

Reordene os termos.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.8

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.1

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.8.2

Fatore $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.8.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.8.4

Reescreva $32$ como $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.8.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.8.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.6.1

Reescreva $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ como $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.8.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.9

Simplifique.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2.2

Fatore $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2.4

Reescreva $32$ como $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1

Reescreva $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ como $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3

Expanda $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Negative $x^{4} - x^{2} - 32$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.4

Mova os parênteses.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 32$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Etapa 6.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Etapa 6.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Etapa 6.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{4} + 0 + 0$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Etapa 6.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Etapa 6.9

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Etapa 6.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Etapa 6.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Etapa 6.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + 0$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Etapa 6.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

$32$

Etapa 6.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{32}{2 x^{2}}$

Etapa 6.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 8