Álgebra Exemplos

$y = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$ .

$2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $2$ de $8 x^{3}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 8 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $2$ de $- 6$ .

$2 x^{4} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 2 (4 x^{3})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.7

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.8

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.1.9

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reagrupe os termos.

$2 (4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 (4 x (x^{2}) - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Fatore $4 x$ de $- 4 x$ .

$2 (4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.3.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$2 (4 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.8

Fatore $u^{2} + 2 u - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.2.2.8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.10

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.11

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.12

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.12.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $4 x (x + 1) (x - 1)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.12.2

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x + x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.13

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 u + u^{2} + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.14

Fatore $4 u + u^{2} + 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.14.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 1.2.2.14.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x + 1) (x - 1) ((u + 1) (u + 3))) = 0$

Etapa 1.2.2.15

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.15.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x + 3))) = 0$

Etapa 1.2.2.15.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x + 1) (x - 1) (x + 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.16

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.16.1

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.16.1.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.16.1.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.16.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.16.1.4

Some $1$ e $1$ .

$2 ({(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1, - 3$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.4

Remova os parênteses.

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.5

Simplifique $2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.5.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 8 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.5.1.4

Multiplique $8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.5.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.5.1.6

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Etapa 2.2.5.1.7

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 6$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 6$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Etapa 2.2.5.2.3

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 6$

Etapa 2.2.5.2.4

Subtraia $6$ de $0$ .

$y = - 6$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 6)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 6)$

Etapa 4