Álgebra Exemplos

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

Etapa 1

Defina $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ como igual a $0$ .

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $r$ de $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $r$ de $r^{5}$ .

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $r$ de $- 7 r^{3}$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $r$ de $- 8 r$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2.4

Fatore $r$ de $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2.5

Fatore $r$ de $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $r^{4}$ como ${(r^{2})}^{2}$ .

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = r^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $r^{2}$ .

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} - 7 u - 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 8, 1$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore.

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Etapa 2.1.6.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r^{2}$ .

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.7

Reescreva $r^{4}$ como ${(r^{2})}^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = r^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.9.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ e cuja soma é $b = - 43$ .

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Etapa 2.1.9.1.1

Fatore $- 43$ de $- 43 u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Etapa 2.1.9.1.2

Reescreva $- 43$ como $5$ mais $- 48$

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

Etapa 2.1.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Etapa 2.1.9.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.9.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Etapa 2.1.9.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u + 1$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

Etapa 2.1.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $r^{2} + 1$ de $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

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Etapa 2.1.11.1

Fatore $r^{2} + 1$ de $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $r^{2} + 1$ de $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.13

Multiplique $r$ por $r^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.13.1

Multiplique $r$ por $r^{2}$ .

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Etapa 2.1.13.1.1

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Some $1$ e $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.14

Mova $- 8$ para a esquerda de $r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

Etapa 2.1.15

Reordene os termos.

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

Etapa 2.1.16

Fatore.

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Etapa 2.1.16.1

Reescreva $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.16.1.1

Fatore $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.16.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.16.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Etapa 2.1.16.1.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.16.1.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Etapa 2.1.16.1.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Etapa 2.1.16.1.1.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Etapa 2.1.16.1.1.3.4

Multiplique $5$ por $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Etapa 2.1.16.1.1.3.5

Some $27$ e $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Etapa 2.1.16.1.1.3.6

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$72 - 24 - 48$

Etapa 2.1.16.1.1.3.7

Subtraia $24$ de $72$ .

$48 - 48$

Etapa 2.1.16.1.1.3.8

Subtraia $48$ de $48$ .

$0$

Etapa 2.1.16.1.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $r - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

Etapa 2.1.16.1.1.5

Divida $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ por $r - 3$ .

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Etapa 2.1.16.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

Etapa 2.1.16.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $r^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

Etapa 2.1.16.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

Etapa 2.1.16.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $r^{3} - 3 r^{2}$ .

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

Etapa 2.1.16.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

Etapa 2.1.16.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Etapa 2.1.16.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 r^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Etapa 2.1.16.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

Etapa 2.1.16.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 r^{2} - 24 r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

Etapa 2.1.16.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

Etapa 2.1.16.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Etapa 2.1.16.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 r$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Etapa 2.1.16.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

Etapa 2.1.16.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 r - 48$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

Etapa 2.1.16.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

Etapa 2.1.16.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$r^{2} + 8 r + 16$

Etapa 2.1.16.1.1.6

Escreva $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ como um conjunto de fatores.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

Etapa 2.1.16.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.16.1.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

Etapa 2.1.16.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

Etapa 2.1.16.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Etapa 2.1.16.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = r$ e $b = 4$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $r^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $r^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $r^{2} + 1 = 0$ para $r$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$r^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \pm i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = i, - i$

Etapa 2.4

Defina $r - 3$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $r - 3$ como igual a $0$ .

$r - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$r = 3$

Etapa 2.5

Defina ${(r + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 2.5.1

Defina ${(r + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(r + 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(r + 4)}^{2} = 0$ para $r$ .

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Etapa 2.5.2.1

Defina $r + 4$ como igual a $0$ .

$r + 4 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$r = - 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$r = i, - i, 3, - 4$

Etapa 3