Álgebra Exemplos

$2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x - 4})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x - 4)}^{1} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x - 4) = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 4 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.2.1.6

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$4 x - 16 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ como $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ .

$4 x - 16 = (- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1} + 4) + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 x - 16 = 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.1.2

Multiplique $\sqrt{x - 1}$ por $1$ .

$4 x - 16 = \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.1.3

Eleve $\sqrt{x - 1}$ à potência de $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.1.4

Eleve $\sqrt{x - 1}$ à potência de $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x - 16 = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.2.5

Simplifique.

$4 x - 16 = x - 1 - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3.1.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 16$

Etapa 2.3.1.3.2

Some $- 1$ e $16$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1}$

Etapa 2.3.1.3.3

Subtraia $4 \sqrt{x - 1}$ de $- 4 \sqrt{x - 1}$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 8 \sqrt{x - 1}$

Etapa 3

Resolva $- 8 \sqrt{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$ .

$x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $- 8 \sqrt{x - 1}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x$

Etapa 3.2.2

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$- 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x - 15$

Etapa 3.2.3

Subtraia $x$ de $4 x$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 16 - 15$

Etapa 3.2.4

Subtraia $15$ de $- 16$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 31$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- 8 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique ${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$64 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$64 {(x - 1)}^{1} = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique.

$64 (x - 1) = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$64 x + 64 \cdot - 1 = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$64 x - 64 = {(3 x - 31)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique ${(3 x - 31)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva ${(3 x - 31)}^{2}$ como $(3 x - 31) (3 x - 31)$ .

$64 x - 64 = (3 x - 31) (3 x - 31)$

Etapa 5.3.1.2

Expanda $(3 x - 31) (3 x - 31)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x - 31) - 31 (3 x - 31)$

Etapa 5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x - 31)$

Etapa 5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Etapa 5.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Multiplique $- 31$ por $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Etapa 5.3.1.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x - 31 \cdot - 31$

Etapa 5.3.1.3.1.6

Multiplique $- 31$ por $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x + 961$

Etapa 5.3.1.3.2

Subtraia $93 x$ de $- 93 x$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 186 x + 961$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$9 x^{2} - 186 x + 961 = 64 x - 64$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $64 x$ dos dois lados da equação.

$9 x^{2} - 186 x + 961 - 64 x = - 64$

Etapa 6.2.2

Subtraia $64 x$ de $- 186 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 961 = - 64$

Etapa 6.3

Some $64$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} - 250 x + 961 + 64 = 0$

Etapa 6.4

Some $961$ e $64$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Etapa 6.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 1025 = 9225$ e cuja soma é $b = - 250$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Fatore $- 250$ de $- 250 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Etapa 6.5.1.2

Reescreva $- 250$ como $- 45$ mais $- 205$

$9 x^{2} + (- 45 - 205) x + 1025 = 0$

Etapa 6.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - 45 x - 205 x + 1025 = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(9 x^{2} - 45 x) - 205 x + 1025 = 0$

Etapa 6.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$9 x (x - 5) - 205 (x - 5) = 0$

Etapa 6.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 5$ .

$(x - 5) (9 x - 205) = 0$

Etapa 6.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$9 x - 205 = 0$

Etapa 6.7

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.7.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6.8

Defina $9 x - 205$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Defina $9 x - 205$ como igual a $0$ .

$9 x - 205 = 0$

Etapa 6.8.2

Resolva $9 x - 205 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Some $205$ aos dois lados da equação.

$9 x = 205$

Etapa 6.8.2.2

Divida cada termo em $9 x = 205$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.1

Divida cada termo em $9 x = 205$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Etapa 6.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Etapa 6.8.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{205}{9}$

Etapa 6.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (9 x - 205) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, \frac{205}{9}$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$ verdadeira.

$x = 5$