Álgebra Exemplos

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $5$ de $5 n$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 (n) + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $5$ como $2$ mais $3$

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + (2 + 3) n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 2 n + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(2 n^{2} + 2 n) + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n (n + 1) + 3 (n + 1)}{9 - 4 n^{2}}$

Etapa 1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $n + 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{9 - 4 n^{2}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - 4 n^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva $4 n^{2}$ como ${(2 n)}^{2}$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - {(2 n)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = 2 n$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - (2 n))}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $n + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2 n + 3$ e $3 + 2 n$ .

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Etapa 3.2.1

Reordene os termos.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$(2 n - 3) \cdot \frac{1}{3 - 2 n}$

Etapa 3.3

Multiplique $2 n - 3$ por $\frac{1}{3 - 2 n}$ .

$\frac{2 n - 3}{3 - 2 n}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2 n - 3$ e $3 - 2 n$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $- 1$ de $2 n$ .

$\frac{- (- 2 n) - 3}{3 - 2 n}$

Etapa 3.4.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- (- 2 n) - 1 (3)}{3 - 2 n}$

Etapa 3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (- 2 n) - 1 (3)$ .

$\frac{- (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Etapa 3.4.4

Reescreva $- (- 2 n + 3)$ como $- 1 (- 2 n + 3)$ .

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Etapa 3.4.5

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Etapa 3.4.6

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Etapa 3.4.7

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$