Álgebra Exemplos

$x = - \frac{1}{2} y^{2} - 4 y - 7$

Etapa 1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = - 7$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2 \cdot - 2$

Etapa 2.1.1.3.2.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$d = 4$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = - 7 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$e = - 7 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - 7 - (4 (- 1 \cdot 2))$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Multiplique $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e = - 7 - (4 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$e = - 7 - - 8$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$e = - 7 + 8$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $- 7$ e $8$ .

$e = 1$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$

Etapa 2.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 4)}^{2} + 1$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 2.5.3.3

Divida $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{2}, - 4)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 4$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Eixo de simetria: $y = - 4$

Diretriz: $x = \frac{3}{2}$

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Eixo de simetria: $y = - 4$

Diretriz: $x = \frac{3}{2}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (1 + 1)}$

Etapa 3.1.2.1.2

Some $1$ e $1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{4}$

Etapa 3.1.2.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 1) = - 4 - 1 \cdot 2$

Etapa 3.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 - 2$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$f (- 1) = - 6$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 3.1.3

Converta $- 6$ em decimal.

$= - 6$

Etapa 3.2

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (1 + 1)}$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $1$ e $1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{4}$

Etapa 3.2.2.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.2.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 1) = - 4 + 2$

Etapa 3.2.2.2

Some $- 4$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.2.3

Converta $- 2$ em decimal.

$= - 2$

Etapa 3.3

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 5.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (0 + 1)}$

Etapa 3.3.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2}$

Etapa 3.3.2.2

A resposta final é $- 4 - \sqrt{2}$ .

$y = - 4 - \sqrt{2}$

Etapa 3.3.3

Converta $- 4 - \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 5.41421356$

Etapa 3.4

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 2.58578643)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (0 + 1)}$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.2

A resposta final é $- 4 + \sqrt{2}$ .

$y = - 4 + \sqrt{2}$

Etapa 3.4.3

Converta $- 4 + \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 2.58578643$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Eixo de simetria: $y = - 4$

Diretriz: $x = \frac{3}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Etapa 5