Álgebra Exemplos

$\frac{x - 2}{x + 3} \leq \frac{5}{3}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{5}{3}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x - 2}{x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{5}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 3) \cdot 3$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x - 2}{x + 3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x + 3) \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{3 (x + 3)} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 2) \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 3 - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot x - 6 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 5 \cdot 3}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.5.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.5.6

Subtraia $5 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 6 - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.5.7

Subtraia $15$ de $- 6$ .

$\frac{- 2 x - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.7

Reescreva $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (21)$ .

$\frac{- (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (2 x + 21)$ como $- 1 (2 x + 21)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x + 21 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Subtraia $21$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 21$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = - 21$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = - 21$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 21}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{21}{2}$

Etapa 6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{21}{2}$

$x = - 3$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = - \frac{21}{2}, - 3$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 (x + 3) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $3 (x + 3) = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1.1

Divida cada termo em $3 (x + 3) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 9.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 9.2.1.2.1.2

Divida $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 = \frac{0}{3}$

Etapa 9.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 9.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{21}{2}$

$- \frac{21}{2} < x < - 3$

$x > - 3$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{21}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{21}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 13$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 13$ na desigualdade original.

$\frac{(- 13) - 2}{(- 13) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $1.5$ é menor do que o lado direito $1.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{21}{2} < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{21}{2} < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 7$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 7$ na desigualdade original.

$\frac{(- 7) - 2}{(- 7) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $2.25$ é maior do que o lado direito $1.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $1.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{21}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadeiro

$x < - \frac{21}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \frac{21}{2}$ ou $x > - 3$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - \frac{21}{2} or x > - 3$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{21}{2}] \cup (- 3, \infty)$

Etapa 14