Álgebra Exemplos

$2 x - 2 y = x^{2} + 9$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Etapa 1.2.3.1.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + x$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Mova $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$

Etapa 2.1.2

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{9}{2}$

Etapa 2.1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.2.3.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.1.2.3.2.3

Divida $2$ por $2$ .

$d = - \frac{1}{1}$

Etapa 2.1.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$d = - \frac{1}{1}$

Etapa 2.1.2.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$d = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Etapa 2.1.2.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 2}$

Etapa 2.1.2.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{9}{2} - - \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.2.4.2.1.5

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{9}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 2.1.2.4.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$e = - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 9 + 1}{2}$

Etapa 2.1.2.4.2.3

Some $- 9$ e $1$ .

$e = \frac{- 8}{2}$

Etapa 2.1.2.4.2.4

Divida $- 8$ por $2$ .

$e = - 4$

Etapa 2.1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$

Etapa 2.1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 2.5.3.3

Divida $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, - \frac{9}{2})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 1$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{7}{2}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{9}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - \frac{7}{2}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{9}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - \frac{7}{2}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Remova os parênteses.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 - 9}{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $9$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 10}{2}$

Etapa 3.2.3.2

Divida $- 10$ por $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

Etapa 3.2.3.3

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 1$ é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Remova os parênteses.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 9}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 - 9}{2}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 9}{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Subtraia $9$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 9}{2}$

Etapa 3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (0) = - \frac{9}{2}$

Etapa 3.5.4

A resposta final é $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = 0$ é $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Remova os parênteses.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.8.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} - 9}{2}$

Etapa 3.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 - 9}{2}$

Etapa 3.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 9 - 9}{2}$

Etapa 3.8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Subtraia $9$ de $- 9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 18}{2}$

Etapa 3.8.3.2

Divida $- 18$ por $2$ .

$f (3) = 3 - 9$

Etapa 3.8.3.3

Subtraia $9$ de $3$ .

$f (3) = - 6$

Etapa 3.8.4

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 3$ é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Remova os parênteses.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Etapa 3.11.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} - 9}{2}$

Etapa 3.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{2}$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 4 - 9}{2}$

Etapa 3.11.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Subtraia $9$ de $- 4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 13}{2}$

Etapa 3.11.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (2) = 2 - \frac{13}{2}$

Etapa 3.11.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Etapa 3.11.5

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Etapa 3.11.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 - 13}{2}$

Etapa 3.11.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.7.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 13}{2}$

Etapa 3.11.7.2

Subtraia $13$ de $4$ .

$f (2) = \frac{- 9}{2}$

Etapa 3.11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (2) = - \frac{9}{2}$

Etapa 3.11.9

A resposta final é $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 2$ é $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, - 4)$

Foco: $(1, - \frac{9}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Etapa 5