Álgebra Exemplos

$x^{9} - x^{5} + x^{4} - 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{9} - x^{5}) + x^{4} - 1 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{5} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1) = 0$

Etapa 1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x^{4} - 1$ .

$(x^{4} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Etapa 1.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Etapa 1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Etapa 1.6.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (x^{5} + 1) = 0$

Etapa 1.6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

Defina $x^{5} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x^{5} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{5} + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x^{5} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{5} = - 1$

Etapa 6.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{- 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique $\sqrt[5]{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Etapa 6.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = - 1$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, - 1, 1$