Álgebra Exemplos

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2

Multiplique $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 4

Multiplique $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 4.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 4.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 4.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\sin (θ)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

Etapa 7

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (θ)$ .

$1 = 2 \sin (θ)$

Etapa 8

Reescreva a equação como $2 \sin (θ) = 1$ .

$2 \sin (θ) = 1$

Etapa 9

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 10

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 11

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 12

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Etapa 13

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 13.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 13.2

Combine frações.

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Etapa 13.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 13.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 13.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Etapa 14

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 14.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$