Álgebra Exemplos

$\frac{x - 2}{x + 1} > 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 2}{x + 1} - 2 > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 2}{x + 1} - 2$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{x + 1} - 2 \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Etapa 2.2

Combine $- 2$ e $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{- 2 (x + 1)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 - 2 (x + 1)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 - 2 x - 2 \cdot 1}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x - 2 - 2 x - 2}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 2 - 2}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$\frac{- x - 4}{x + 1} > 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 4}{x + 1} > 0$

Etapa 2.6

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (4)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 4}{x + 1} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 4$

$x = - 1$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = - 4, - 1$

Etapa 8

Encontre o domínio de $- \frac{x + 4}{x + 1}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x + 4}{x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$x > - 1$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 1} > 2$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $1.6$ não é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{(- 2) - 2}{(- 2) + 1} > 2$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 1} > 2$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 2$ não é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadeiro

$x > - 1$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadeiro

$x > - 1$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x < - 1$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 4 < x < - 1$

Notação de intervalo:

$(- 4, - 1)$

Etapa 13