Álgebra Exemplos

$3 x - y^{2} = 8 y + 1$

Etapa 1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$

Etapa 2

Divida cada termo em $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique $\frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Mova $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.1.1.2

Reordene $\frac{8 y}{3}$ e $\frac{y^{2}}{3}$ .

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.1.2

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{8}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Etapa 3.1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Etapa 3.1.2.3.2.3

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{4}{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.3.2.4

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Etapa 3.1.2.3.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Etapa 3.1.2.3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 3.1.2.3.2.6

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 3.1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Etapa 3.1.2.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.4.1

Fatore $4$ de $64$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Etapa 3.1.2.4.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Etapa 3.1.2.4.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

Etapa 3.1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.5.1

Fatore $3$ de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

Etapa 3.1.2.4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Etapa 3.1.2.4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

Etapa 3.1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{1 - 16}{3}$

Etapa 3.1.2.4.2.3

Subtraia $16$ de $1$ .

$e = \frac{- 15}{3}$

Etapa 3.1.2.4.2.4

Divida $- 15$ por $3$ .

$e = - 5$

Etapa 3.1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$

Etapa 3.1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 5$

$k = - 4$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 5, - 4)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Etapa 3.5.3.3

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{17}{4}, - 4)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 4$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{23}{4}$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 5, - 4)$

Foco: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Eixo de simetria: $y = - 4$

Diretriz: $x = - \frac{23}{4}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 5, - 4)$

Foco: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Eixo de simetria: $y = - 4$

Diretriz: $x = - \frac{23}{4}$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $- 4$ em $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 4, - 5.7320508)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Some $- 4$ e $5$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3}$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $- 4 - \sqrt{3}$ .

$y = - 4 - \sqrt{3}$

Etapa 4.1.3

Converta $- 4 - \sqrt{3}$ em decimal.

$= - 5.7320508$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $- 4$ em $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 4, - 2.26794919)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Some $- 4$ e $5$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3}$

Etapa 4.2.2.2

A resposta final é $- 4 + \sqrt{3}$ .

$y = - 4 + \sqrt{3}$

Etapa 4.2.3

Converta $- 4 + \sqrt{3}$ em decimal.

$= - 2.26794919$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $- 3$ em $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 3, - 6.44948974)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Some $- 3$ e $5$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{6}$

Etapa 4.3.2.2

A resposta final é $- 4 - \sqrt{6}$ .

$y = - 4 - \sqrt{6}$

Etapa 4.3.3

Converta $- 4 - \sqrt{6}$ em decimal.

$= - 6.44948974$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $- 3$ em $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 3, - 1.55051025)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Some $- 3$ e $5$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{6}$

Etapa 4.4.2.2

A resposta final é $- 4 + \sqrt{6}$ .

$y = - 4 + \sqrt{6}$

Etapa 4.4.3

Converta $- 4 + \sqrt{6}$ em decimal.

$= - 1.55051025$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 5, - 4)$

Foco: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Eixo de simetria: $y = - 4$

Diretriz: $x = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Etapa 6