Álgebra Exemplos

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 3 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 7

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 3$

$x = 4$

$x = 2, - 2$

Etapa 10

Consolide as soluções.

$x = - 3, 4, 2, - 2$

Etapa 11

Encontre o domínio de $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ .

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Etapa 11.1

Defina o denominador em $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x$ .

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Etapa 11.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 11.2.2

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.2.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 11.2.2.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.2.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 11.2.2.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 11.2.3

Defina $x^{2} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.3.1

Defina $x^{2} - 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 11.2.3.2

Resolva $x^{2} - 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 11.2.3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 11.2.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 11.2.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 11.2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 11.2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 11.2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 11.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2, - 2$

Etapa 11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) + 3}{{((- 6) - 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $- 0.0009375$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2.5$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $- 2.5$ na desigualdade original.

$\frac{(- 2.5) + 3}{{((- 2.5) - 4)}^{2} ({(- 2.5)}^{2} - 4)} \leq 0$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $0.00525969$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 3}{{((0) - 4)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)} \leq 0$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $- 0.046875$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.4

Teste um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.4.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 13.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{(3) + 3}{{((3) - 4)}^{2} ({(3)}^{2} - 4)} \leq 0$

Etapa 13.4.3

O lado esquerdo $1.2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.5

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 13.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{(6) + 3}{{((6) - 4)}^{2} ({(6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Etapa 13.5.3

O lado esquerdo $0.0703125$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $- 2 < x < 2$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 3 or - 2 < x < 2$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup (- 2, 2)$

Etapa 16