Álgebra Exemplos

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

Etapa 1

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

Etapa 2

Como há

3

$3$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo,

3

$3$ raízes positivas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes positivas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex.,

(3 - 2)

$(3 - 2)$ ).

Raízes positivas:

3

$3$ ou

1

$1$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua

x

$x$ por

- x

$- x$ e repita a comparação de sinais.

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Etapa 4

Simplifique o polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Remova os parênteses.

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a

- x

$- x$ .

f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Etapa 4.2.2

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

3

$3$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Etapa 4.2.3

Aplique a regra do produto a

- x

$- x$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1$

Etapa 4.2.4

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1$

Etapa 4.2.5

Multiplique

x^{2}

$x^{2}$ por

1

$1$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

Etapa 5

Como há

0

$0$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo,

0

$0$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes).

Raízes negativas:

0

$0$

Etapa 6

O número possível de raízes positivas é

3

$3$ ou

1

$1$ , e o número possível de raízes negativas é

0

$0$ .

Raízes positivas:

3

$3$ ou

1

$1$

Raízes negativas:

0

$0$