Álgebra Exemplos

$g (x) = 2 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x + 9$

Etapa 1

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (x) = 2 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x + 9$

Etapa 2

Como há $0$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $0$ raízes positivas (regra dos sinais de Descartes).

Raízes positivas: $0$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $x$ por $- x$ e repita a comparação de sinais.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 (- x^{3}) + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 (1 x^{2}) + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.9

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 (- x) + 9$

Etapa 4.10

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 9$

Etapa 5

Como há $4$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $4$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes negativas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $4 - 2$ ).

Raízes negativas: $4$ , $2$ , or $0$

Etapa 6

O número possível de raízes positivas é $0$ , e o número possível de raízes negativas é $4$ , $2$ , or $0$ .

Raízes positivas: $0$

Raízes negativas: $4$ , $2$ , or $0$