Exemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Expanda $(3 - λ) (6 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.2.2

Subtraia $6 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

Etapa 5.2.2

Subtraia $8$ de $18$ .

$p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10$

Etapa 5.2.3

Reordene $- 9 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 9 λ + 10 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 9$ e $c = 10$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 40}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Subtraia $40$ de $81$ .

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2}$

Etapa 7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$λ = \frac{9 + \sqrt{41}}{2}, \frac{9 - \sqrt{41}}{2}$

Forma decimal:

$λ = 7.70156211 \dots, 1.29843788 \dots$

Insira SEU problema