Exemplos

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

Etapa 1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

Etapa 2

Complete o quadrado de $3 x^{2} - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 3}{3}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Etapa 2.4.2.1.3

Divida $36$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

Etapa 3

Substitua $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ por $3 x^{2} - 6 x$ na equação $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

Etapa 4

Mova $- 3$ para o lado direito da equação, somando $3$ aos dois lados.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

Etapa 5

Complete o quadrado de $4 y^{2} + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 5.4.2.1.3

Divida $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Etapa 6

Substitua $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} + 8 y$ na equação $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

Etapa 7

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

Etapa 8

Simplifique $5 + 3 + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some $5$ e $3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

Etapa 8.2

Some $8$ e $4$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

Etapa 9

Divida cada termo por $12$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Etapa 10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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