Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 3 & 3 1 & 4 & 0 1 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos

0

$0$ . Se não houver elementos

0

$0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha

1

$1$ por seu cofator e some.

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Etapa 1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição

-

$-$ no gráfico de sinais.

Etapa 1.3

O menor para

a_{11}

$a_{11}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiplique o elemento

a_{11}

$a_{11}$ por seu cofator.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.5

O menor para

a_{12}

$a_{12}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiplique o elemento

a_{12}

$a_{12}$ por seu cofator.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 1.7

O menor para

a_{13}

$a_{13}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiplique o elemento

a_{13}

$a_{13}$ por seu cofator.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.9

Adicione os termos juntos.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 2

Multiplique

0

$0$ por

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

0 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 0 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

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Etapa 3.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

0 - 3 (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 3.2.1

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

0 - 3 (2 - 1 \cdot 0) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 3 (2 - 1 \cdot 0) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 3.2.2

Subtraia

0

$0$ de

2

$2$ .

0 - 3 \cdot 2 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 3 \cdot 2 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

0 - 3 \cdot 2 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 3 \cdot 2 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

0 - 3 \cdot 2 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 - 3 \cdot 2 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Etapa 4

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 1 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Etapa 4.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 4)

$0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 4)$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique

1

$1$ por

1

$1$ .

0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 - 1 \cdot 4)

$0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 - 1 \cdot 4)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 - 4)

$0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 - 4)$

0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 - 4)

$0 - 3 \cdot 2 + 3 (1 - 4)$

Etapa 4.2.2

Subtraia

4

$4$ de

1

$1$ .

0 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot - 3

$0 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot - 3$

0 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot - 3

$0 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot - 3$

0 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot - 3

$0 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot - 3$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique

- 3

$- 3$ por

2

$2$ .

0 - 6 + 3 \cdot - 3

$0 - 6 + 3 \cdot - 3$

Etapa 5.1.2

Multiplique

3

$3$ por

- 3

$- 3$ .

0 - 6 - 9

$0 - 6 - 9$

0 - 6 - 9

$0 - 6 - 9$

Etapa 5.2

Subtraia

6

$6$ de

0

$0$ .

- 6 - 9

$- 6 - 9$

Etapa 5.3

Subtraia

9

$9$ de

- 6

$- 6$ .

- 15

$- 15$

- 15

$- 15$

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