Exemplos

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - b - c a - b + c a + b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de

$ℝ^{3}$ para

$ℝ^{3}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para

$S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 6.1

Reorganize

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6.2

Reorganize

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6.3

Reorganize

$x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

Etapa 7

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{2} + 5 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

Etapa 8

A propriedade de adição da transformação é verdadeira.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Etapa 9

Para que uma transformação seja linear, ela deve manter a multiplicação escalar.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Etapa 10

Fatore

$p$ a partir de cada elemento.

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Etapa 10.1

Multiplique

$p$ por cada elemento na matriz.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Etapa 10.2

Aplique a transformação ao vetor.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \\ p a + p b + 5 (p c) \end{array}]$

Etapa 10.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 10.3.1

Reorganize

$(p a) - (p b) - (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) + p c \\ p a + p b + 5 (p c) \end{array}]$

Etapa 10.3.2

Reorganize

$(p a) - (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \\ p a + p b + 5 (p c) \end{array}]$

Etapa 10.3.3

Reorganize

$p a + p b + 5 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \\ a p + b p + 5 c p \end{array}]$

Etapa 10.4

Fatore cada elemento da matriz.

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Etapa 10.4.1

Fatore o elemento

$0, 0$ multiplicando

$a p - 1 b p - 1 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ a p - 1 b p + c p \\ a p + b p + 5 c p \end{array}]$

Etapa 10.4.2

Fatore o elemento

$1, 0$ multiplicando

$a p - 1 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \\ a p + b p + 5 c p \end{array}]$

Etapa 10.4.3

Fatore o elemento

$2, 0$ multiplicando

$a p + b p + 5 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \\ p (a + b + 5 c) \end{array}]$

Etapa 11

A segunda propriedade das transformações lineares é preservada nesta transformação.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Etapa 12

Para que a transformação seja linear, preserve o vetor zero.

$S (0) = 0$

Etapa 13

Aplique a transformação ao vetor.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \\ 0 + 0 + 5 (0) \end{array}]$

Etapa 14

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 14.1

Reorganize

$(0) - (0) - (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - (0) + 0 \\ 0 + 0 + 5 (0) \end{array}]$

Etapa 14.2

Reorganize

$(0) - (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 + 0 + 5 (0) \end{array}]$

Etapa 14.3

Reorganize

$0 + 0 + 5 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 15

O vetor zero é preservado pela transformação.

$S (0) = 0$

Etapa 16

Como as três propriedades das transformações lineares não correspondem, esta não é uma transformação linear.

Transformação linear

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