Exemplos

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ como uma equação.

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Etapa 2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

Etapa 3

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

Etapa 4

Complete o quadrado.

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Etapa 4.1

Reordene $- 3 x$ e $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

Etapa 4.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 3$

$c = 0 = y - 7$

Etapa 4.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 3}{4}$

Etapa 4.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{3}{4}$

Etapa 4.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{8}$

Etapa 4.5.2.2

Subtraia $\frac{9}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{8}$

Etapa 4.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1

Some $\frac{9}{8}$ aos dois lados da equação.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

Etapa 5.2

Para escrever $- 7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

Etapa 5.3

Combine $- 7$ e $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- 7$ por $8$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

Etapa 5.5.2

Some $- 56$ e $9$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

Etapa 5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ por $2$ .

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida ${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ por $1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.3.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{47}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

Etapa 7

Fatore.

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Etapa 7.1

Para escrever $\frac{y}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

Etapa 7.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{y}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

Etapa 7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

Etapa 7.4

Mova $8$ para a esquerda de $y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

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