Exemplos

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

Etapa 1

Substitua $u$ por $z + 3$ .

$u^{3} = 2 i$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = 0$ e $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 2$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Etapa 7

Como o argumento é indefinido e $b$ é positivo, o ângulo do ponto no plano complexo é $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{2}$ e $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 9

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 10

Use o teorema de De Moivre para encontrar uma equação para $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 11

Equacione o módulo da forma trigonométrica como $r^{3}$ para encontrar o valor de $r$ .

$r^{3} = 2$

Etapa 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

Etapa 13

Encontre o valor aproximado de $r$ .

$r = 1.25992104$

Etapa 14

Encontre os valores possíveis de $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ e $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Etapa 15

Encontrar todos os valores possíveis de $θ$ leva à equação $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Etapa 16

Encontre o valor de $θ$ para $r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Etapa 17

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Etapa 17.1.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Etapa 17.1.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Etapa 17.2

Divida cada termo em $3 θ = \frac{π}{2}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Divida cada termo em $3 θ = \frac{π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Etapa 17.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Etapa 17.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Etapa 17.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 17.2.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 17.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 18

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 19

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 19.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Etapa 19.1.3

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.3

Multiplique $1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.1

Combine $1.25992104$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.3.2

Multiplique $1.25992104$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.4

Combine $1.25992104$ e $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 19.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.5.1

Divida $2.18224727$ por $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 19.5.2

Fatore $1.25992104$ de $1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Etapa 19.5.3

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Etapa 19.5.4

Separe as frações.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 19.5.5

Divida $1.25992104$ por $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Etapa 19.5.6

Divida $i$ por $1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 20

Substitua $z + 3$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento esquerdo.

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 21

Encontre o valor de $θ$ para $r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Etapa 22

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 22.1.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 22.1.3

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Etapa 22.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Etapa 22.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Etapa 22.1.6

Some $π$ e $4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Etapa 22.2

Divida cada termo em $3 θ = \frac{5 π}{2}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Divida cada termo em $3 θ = \frac{5 π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Etapa 22.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Etapa 22.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Etapa 22.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 22.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 22.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Etapa 23

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 24.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Etapa 24.1.5

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 24.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.3

Multiplique $1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.3.1

Multiplique $- 1$ por $1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.3.2

Combine $- 1.25992104$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.3.3

Multiplique $- 1.25992104$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.4

Combine $1.25992104$ e $\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 24.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.5.1

Divida $- 2.18224727$ por $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 24.5.2

Fatore $1.25992104$ de $1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Etapa 24.5.3

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Etapa 24.5.4

Separe as frações.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 24.5.5

Divida $1.25992104$ por $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Etapa 24.5.6

Divida $i$ por $1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 25

Substitua $z + 3$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento esquerdo.

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 26

Encontre o valor de $θ$ para $r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Etapa 27

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Etapa 27.1.2

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 27.1.3

Combine $4 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Etapa 27.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Etapa 27.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Etapa 27.1.6

Some $π$ e $8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Etapa 27.2

Divida cada termo em $3 θ = \frac{9 π}{2}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1

Divida cada termo em $3 θ = \frac{9 π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Etapa 27.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Etapa 27.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Etapa 27.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 27.2.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.2.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 27.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 27.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 28

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 29

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 29.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 29.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 29.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Etapa 29.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Etapa 29.1.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Etapa 29.1.7

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Etapa 29.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.2.1

Subtraia $i$ de $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Etapa 29.2.2

Multiplique $- 1$ por $1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Etapa 30

Substitua $z + 3$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento esquerdo.

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

Etapa 31

Essas são as soluções complexas para $u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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