Exemplos

$(- 1, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 2)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma elipse.

Equação de elipse horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de elipse vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

$a$ é a distância entre o vértice $(4, - 2)$ e o ponto central $(- 1, - 2)$ .

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Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Some $4$ e $1$ .

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Some $- 2$ e $2$ .

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Etapa 2.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$a = \sqrt{25 + 0}$

Etapa 2.3.7

Some $25$ e $0$ .

$a = \sqrt{25}$

Etapa 2.3.8

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2}}$

Etapa 2.3.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = 5$

Etapa 3

$c$ é a distância entre o foco $(2, - 2)$ e o centro $(- 1, - 2)$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Some $2$ e $1$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Some $- 2$ e $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Etapa 3.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Etapa 3.3.7

Some $9$ e $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Etapa 3.3.8

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.3.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c = 3$

Etapa 4

Usando a equação $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , substitua $5$ por $a$ e $3$ por $c$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como ${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Etapa 4.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$25 - b^{2} = 3^{2}$

Etapa 4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$25 - b^{2} = 9$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.4.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$- b^{2} = 9 - 25$

Etapa 4.4.2

Subtraia $25$ de $9$ .

$- b^{2} = - 16$

Etapa 4.5

Divida cada termo em $- b^{2} = - 16$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.5.1

Divida cada termo em $- b^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Divida $b^{2}$ por $1$ .

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$b^{2} = 16$

Etapa 4.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$b = \pm \sqrt{16}$

Etapa 4.7

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 4.7.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$b = \pm 4$

Etapa 4.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$b = 4$

Etapa 4.8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$b = - 4$

Etapa 4.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$b = 4, - 4$

Etapa 5

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

$b = 4$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco $(2, - 2)$ e o centro $(- 1, - 2)$ determina se a elipse é vertical ou horizontal. Se a inclinação for $0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

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Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em $y$ sobre a variação em $x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em $x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em $y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de $x$ e $y$ na equação para encontrar a inclinação.

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

Etapa 6.4.1.2

Some $- 2$ e $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Etapa 6.4.3

Divida $0$ por $- 3$ .

$m = 0$

Etapa 6.5

A equação geral de uma elipse horizontal é $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores $h = - 1$ , $k = - 2$ , $a = 5$ e $b = 4$ em $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da elipse $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da elipse.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Etapa 9

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