Exemplos

Considerando os pontos ${\displaystyle C=(2,2,2)}$ e ${\displaystyle D=(4,7,10)}$, encontre um plano que contenha os pontos ${\displaystyle A=(1,1,1)}$ e ${\displaystyle B=(1,2,3)}$ e que seja paralelo à reta ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Primeiro, calcule o vetor de direção da reta através dos pontos ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle D}$. Para fazer isso, use os valores das coordenadas do ponto ${\displaystyle C}$ e subtraia-os do ponto ${\displaystyle D}$.

Substitua os valores ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ e simplifique para obter o vetor de direção ${\displaystyle V_{\mathrm{CD}}}$ para a linha ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Calcule o vetor de direção de uma linha através dos pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ usando o mesmo método.

Substitua os valores ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ e simplifique para obter o vetor de direção ${\displaystyle V_{\mathrm{AB}}}$ para a linha ${\displaystyle \mathrm{AB}}$.

O plano da solução conterá uma linha com os pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ e com o vetor de direção ${\displaystyle V_{AB}}$. Para que esse plano seja paralelo à linha ${\displaystyle CD}$, encontre o vetor normal do plano, que também é ortogonal ao vetor de direção da linha ${\displaystyle CD}$. Calcule o vetor normal determinando o produto vetorial ${\displaystyle V_{AB}}$x${\displaystyle V_{CD}}$ ao encontrar o determinante da matriz ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_D-x_C& y_D-y_C& z_D-z_C\end{array}\right]}$.

Some a constante para encontrar a equação do plano, que é ${\displaystyle (-2)x+\left(4\right)y+(-2)z=0}$.