Exemplos

$4 x - y = 2$ ,

$6 x - 2 y = - 1$

Etapa 1

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto

$(p, q, r)$ perpendicular ao plano

$P_{1}$

$a x + b y + c z = d$ e ao plano

$P_{2}$

$e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano

$P_{1}$ e do plano

$P_{2}$ , em que os vetores normais são

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ e

$z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano

$P_{2}$ , como

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva

$t$ .

4. Usando o valor de

$t$ , resolva as equações paramétricas

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ e

$z = r + c t$ para

$t$ para encontrar a intersecção

$(x, y, z)$ .

Etapa 2

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$P_{1}$ é

$4 x - y = 2$ . Encontre o vetor normal

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma

$a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Etapa 2.2

$P_{2}$ é

$6 x - 2 y = - 1$ . Encontre o vetor normal

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma

$e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

Etapa 2.3

Calcule o produto escalar de

$n_{1}$ e

$n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de

$x$ ,

$y$ e

$z$ correspondentes nos vetores normais.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4

Simplifique o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Remova os parênteses.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique

$4$ por

$6$ .

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 2$ .

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique

$0$ por

$0$ .

$24 + 2 + 0$

Etapa 2.4.3

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Some

$24$ e

$2$ .

$26 + 0$

Etapa 2.4.3.2

Some

$26$ e

$0$ .

$26$

Etapa 3

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ e

$z = r + c t$ usando a origem

$(0, 0, 0)$ para o ponto

$(p, q, r)$ e os valores do vetor normal

$26$ para os valores de

$a$ ,

$b$ e

$c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a

$P_{1}$

$4 x - y = 2$ .

$x = 0 + 4 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 4

Substitua a expressão de

$x$ ,

$y$ e

$z$ na equação por

$P_{2}$

$6 x - 2 y = - 1$ .

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5

Resolva a equação para

$t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine os termos opostos em

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Some

$0$ e

$4 \cdot t$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5.1.1.2

Subtraia

$1 \cdot t$ de

$0$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Multiplique

$4$ por

$6$ .

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva

$- 1 t$ como

$- t$ .

$24 t - 2 (- t) = - 1$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique

$- 1$ por

$- 2$ .

$24 t + 2 t = - 1$

Etapa 5.1.3

Some

$24 t$ e

$2 t$ .

$26 t = - 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em

$26 t = - 1$ por

$26$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em

$26 t = - 1$ por

$26$ .

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de

$26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida

$t$ por

$1$ .

$t = \frac{- 1}{26}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1}{26}$

Etapa 6

Resolva as equações paramétricas para

$x$ ,

$y$ e

$z$ usando o valor de

$t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Resolva a equação para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Remova os parênteses.

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Etapa 6.1.2

Remova os parênteses.

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

Etapa 6.1.3

Simplifique

$0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em

$- \frac{1}{26}$ para o numerador.

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

Etapa 6.1.3.1.1.2

Fatore

$2$ de

$4$ .

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

Etapa 6.1.3.1.1.3

Fatore

$2$ de

$26$ .

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.1.3.1.1.4

Cancele o fator comum.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.1.3.1.1.5

Reescreva a expressão.

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

Etapa 6.1.3.1.2

Combine

$2$ e

$\frac{- 1}{13}$ .

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

Etapa 6.1.3.1.3

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

Etapa 6.1.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = 0 - \frac{2}{13}$

Etapa 6.1.3.2

Subtraia

$\frac{2}{13}$ de

$0$ .

$x = - \frac{2}{13}$

Etapa 6.2

Resolva a equação para

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

Etapa 6.2.3

Simplifique

$0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique

$- 1 (- \frac{1}{26})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique

$\frac{1}{26}$ por

$1$ .

$y = 0 + \frac{1}{26}$

Etapa 6.2.3.2

Some

$0$ e

$\frac{1}{26}$ .

$y = \frac{1}{26}$

Etapa 6.3

Resolva a equação para

$z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Etapa 6.3.2

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

Etapa 6.3.3

Simplifique

$0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique

$0 (- \frac{1}{26})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

Etapa 6.3.3.1.2

Multiplique

$0$ por

$\frac{1}{26}$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 6.3.3.2

Some

$0$ e

$0$ .

$z = 0$

Etapa 6.4

As equações paramétricas resolvidas para

$x$ ,

$y$ e

$z$ .

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

Etapa 7

Usando os valores calculados para

$x$ ,

$y$ e

$z$ , o ponto de intersecção encontrado é

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ .

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

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