Trigonometria Exemplos

4 {sin}^{2} (x) - 1 = 0

$4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 1

Some

1

$1$ aos dois lados da equação.

4 {sin}^{2} (x) = 1

$4 \sin^{2} (x) = 1$

Etapa 2

Divida cada termo em

4 {sin}^{2} (x) = 1

$4 \sin^{2} (x) = 1$ por

4

$4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em

4 {sin}^{2} (x) = 1

$4 \sin^{2} (x) = 1$ por

4

$4$ .

\frac{4 {sin}^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de

4

$4$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.1.2

Divida

$\sin^{2} (x)$ por

$1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 4

Simplifique

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ como

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.2

Qualquer raiz de

$1$ é

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver

$x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 7

Resolva

$x$ em

$\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de

$\arcsin (\frac{1}{2})$ é

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 7.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 7.4

Simplifique

$π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 7.4.1

Para escrever

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.4.2

Combine frações.

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Etapa 7.4.2.1

Combine

$π$ e

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 7.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.3.1

Mova

$6$ para a esquerda de

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 7.4.3.2

Subtraia

$π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.5

Encontre o período de

$\sin (x)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Etapa 7.6

O período da função

$\sin (x)$ é

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 8

Resolva

$x$ em

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ é

$- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 8.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de

$2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com

$π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.4.1

Subtraia

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 8.4.2

O ângulo resultante de

$\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que

$2 π$ e coterminal com

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 8.5

Encontre o período de

$\sin (x)$ .

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Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Etapa 8.6

Some

$2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.6.1

Some

$2 π$ com

$- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 8.6.2

Para escrever

$2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.6.3

Combine frações.

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Etapa 8.6.3.1

Combine

$2 π$ e

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 8.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.6.4.1

Multiplique

$6$ por

$2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 8.6.4.2

Subtraia

$π$ de

$12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 8.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 8.7

O período da função

$\sin (x)$ é

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 10

Consolide as soluções.

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Etapa 10.1

Consolide

$\frac{π}{6} + 2 π n$ e

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em

$\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 10.2

Consolide

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ e

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ em

$\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

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