Trigonometria Exemplos

32 + 32 i \sqrt{3}

$32 + 32 i \sqrt{3}$ ,

n = 3

$n = 3$

Etapa 1

Calcule a distância de

(a, b)

$(a, b)$ até a origem usando a fórmula

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique

\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve

32

$32$ à potência de

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Mova

32

$32$ para a esquerda de

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Aplique a regra do produto a

32 \sqrt{3}

$32 \sqrt{3}$ .

r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve

32

$32$ à potência de

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Etapa 2.2.5

Avalie o expoente.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Etapa 2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique

$1024$ por

$3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Etapa 2.3.2

Some

$1024$ e

$3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Etapa 2.3.3

Reescreva

$4096$ como

$64^{2}$ .

$r = \sqrt{64^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = 64$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Etapa 4

Simplifique

$\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum de

$32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Etapa 4.1.2

Divida

$\sqrt{3}$ por

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Etapa 4.2

$\sqrt{3}$ é aproximadamente

$1.7320508$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 4.3

O valor exato de

$\arctan (\sqrt{3})$ é

$\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Etapa 5

Encontre o quadrante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova

$32$ para a esquerda de

$\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Etapa 5.2

O ponto está localizado no primeiro quadrante, porque

$x$ e

$y$ são positivos. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo lado superior direito.

Quadrante

$1$

Quadrante

$1$

Etapa 6

$(a, b)$ está no primeiro quadrante.

$θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 7

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 8

Substitua

$r$ ,

$n$ e

$θ$ na fórmula.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine

${(64)}^{\frac{1}{3}}$ e

$\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.2

Combine

$c$ e

$\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.3

Combine

$i$ e

$\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Etapa 8.4

Combine

$s$ e

$\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5

Remova os parênteses.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Etapa 8.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Etapa 8.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Etapa 8.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Etapa 8.5.8

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Etapa 9

Substitua

$k = 0$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva

$64$ como

$4^{3}$ .

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.4

Avalie o expoente.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Etapa 9.5

Multiplique

$2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique

$0$ por

$2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Etapa 9.5.2

Multiplique

$0$ por

$π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Etapa 9.6

Some

$\frac{π}{3}$ e

$0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Etapa 9.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 9.8

Multiplique

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Multiplique

$\frac{π}{3}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Etapa 9.8.2

Multiplique

$3$ por

$3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Etapa 10

Substitua

$k = 1$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva

$64$ como

$4^{3}$ .

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.4

Avalie o expoente.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Etapa 10.5

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Etapa 10.6

Para escrever

$2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Etapa 10.7

Combine

$2 π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 10.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 10.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Etapa 10.9.2

Some

$π$ e

$6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Etapa 10.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 10.11

Multiplique

$\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.11.1

Multiplique

$\frac{7 π}{3}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Etapa 10.11.2

Multiplique

$3$ por

$3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Etapa 11

Substitua

$k = 2$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reescreva

$64$ como

$4^{3}$ .

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.4

Avalie o expoente.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Etapa 11.5

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Etapa 11.6

Para escrever

$4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Etapa 11.7

Combine

$4 π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 11.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Etapa 11.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.9.1

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Etapa 11.9.2

Some

$π$ e

$12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Etapa 11.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 11.11

Multiplique

$\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.11.1

Multiplique

$\frac{13 π}{3}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Etapa 11.11.2

Multiplique

$3$ por

$3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Etapa 12

Liste as soluções.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

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